赌徒，天才，无赖，学者，酒鬼，情敌与爱人，意气风发与穷困潦倒。数学史的剧场里绝对不是只有数字、符号和天才。这里上演的是最聪明的头脑的探索，同时还有他们在世间的悲欢离合、辛酸与荣耀。今天，推荐这本《迷人的对称》，是享誉世界的著名数学家伊恩·斯图尔特的最新力作。本书围绕“对称”这一在数学乃至人类对自然的探索中居于核心地位的概念巧妙地穿针引线，为我们娓娓道来了3000多年来的数学发展史。他将带我们认识的这群非凡的头脑，从古巴比伦的破碎的泥板，到李群的故事，再到理论的前沿，比如或许有可能解释宇宙的存在的“八元数”。从古至今，一代又一代数学家努力以自己的方式一点一点拓展着知识的边界。1832 年5 月30 日。晨雾中，两个法国青年面对面拔出手枪指着对方，为一个年轻女人而决斗。一声枪响，其中一人倒在地上，受了致命伤。第二天他就死于腹膜炎，年仅21 岁，被葬在一条普通的道沟里。数学和科学史上最重要的理论之一差点儿随着他的死一并消失。这位死去的人叫埃瓦里斯特·伽罗瓦，一个着迷于数学的革命者。他把他全部的数学工作整理到一起也仅仅能写满60 页纸而已，但是他留下的遗产却引发了一场数学革命。他发明了一种语言，用来描述数学结构中的对称性，并推导出对称性带来的结果。
今天，这种被称为“群论”的语言已经被应用于纯数学和应用数学的方方面面，由此支配着自然界种种模式的形成。“群”一开始不为人们理解，因为这样的词乍一看不明所以。但是当这些词的含义在叙述中变得重要的时候，我们会去解释它们，这时候我们需要一个方便的名称来代指各种各样的概念。“群”就是这样诞生的。可以说，“群”是一种数学上“关于对称性的微积分”。伽罗瓦继承了代数学这一古老的数学传统，并把它发扬光大，改造成研究对称性的工具。
在物理学前沿研究中，对称性不论是在极小尺度的量子世界还是在极大尺度的相对论世界都居于核心地位。它甚至有可能指出一条通向“万有理论”的道路，人们对这一理论探求已久，希望能从数学上统一量子理论和相对论这两个近代物理学中最重要的分支。而这一切的开始仅仅是一个简单的代数问题，与数学方程的解有关——求解数学方程，就是根据一些数学线索来寻找一个未知数的值。那什么是对称性呢？对称性不是一个单一的数或形状，而是一种特殊的变换—— 一种移动物体的方式。如果一个物体经过某种变换后看起来与之前相同，这一变换就关联着某种对称性。例如，一个正方形旋转90°前后看起来是相同的，说明正方形具有某种关于旋转的对称性。对称性理论并不是像人们想象的那样， 从几何学发展成为一种主流理论的。数学家和物理学家现在所使用的那些极其优美又不可或缺的对称性概念反而是来源于代数学。要描述对称性，首先得了解代数方程的求解问题。这可能听上去太专业了。举个例子，五次方程的解是已知存在的。问题是， 这些解是否一定能用代数式a表示？1821 年，年轻的挪威人尼尔斯·亨里克·阿贝尔证明五次方程无法用代数方法求解， 但是他的证明晦涩而迂回。他证明了不存在一般的解法，却并没有真正解释为什么。
伽罗瓦发现，五次方程不可解，是源于方程本身所具有的对称性。可以这么说，如果方程的这些对称性通过了伽罗瓦检验，那么这个方程就可以用代数式求解。如果对称性没有通过伽罗瓦检验，那么就不存在这样的代数式。一般的五次方程都无法用代数式求解，因为它们所具有的对称性不属于可求解的类别。五次方程的不可解告诉我们，5 这个数就像π一样，是非常特殊的。它是使与之相关联的对称群无法通过伽罗瓦检验的最小的数。另一个奇妙的例子与下面这一列数有关：1，2，4，8。数学家发现可以对通常的实数概念进行一系列的扩张，首先得到复数，随后则是被称为四元数和八元数的东西。它们分别由2 套、4 套和8 套实数构造而成。接下来呢？你可能很自然地会想到16，但实际上这列数已经没有更进一步的合理扩张了。这是一个非凡而深刻的事实。它告诉我们，8 这个数有其特殊性。这种特殊性不是表面意义上的，而在于数学本身的潜在结构。除了5 和8 之外， 还有14，52，78，133 和248。这些奇怪的数是五个“例外李群”的维数a，它们的影响遍及整个数学领域以及大部分的数学物理学领域。它们是数学舞台上的主角，而其他看起来与它们相差无几的数却只不过是些小角色。数学家发现这些数有多特殊的时候，正是19 世纪末抽象代数建立起来的时候。重要的不是这些数本身，而是它们在代数基础中起到的作用。它们中的每一个数都关联着一个叫作“李群”的数学对象，具有独特而显著的特性。这些李群在近代物理学中起着基础性的作用，而且看起来与空间、时间和物质的深层结构都有关联。这就不得不说基础物理学了。长久以来物理学家一直想知道，为什么空间有三个维度，而时间有一个维度——为a维数，物理学中指独立参数或坐标的数目。什么我们生活在四维时空之中。超弦理论是将整个物理学统一在同一套互相一致的法则中的最新尝试，物理学家由此开始思考时空是否可能存在额外的“隐藏”维度。这种想法听起来好像很荒唐，但历史上有很多这样的先例。隐藏维度的存在可能是超弦理论中争议最小的一点了。远比隐藏维度更有争议的是，超弦理论相信构建一套新的时空理论主要需要依靠相对论和量子理论——近代物理学的两大支柱。人们认为，统一这两个相互矛盾的理论所需要的完全是数学上的推演，而不是新的革命性实验。数学美感被看作物理学真理的前提，这可能是个危险的假设。很重要的一点是，我们不能忽略实际的物理世界，任何从当下的深思熟虑中最终产生的理论，无论它具有多深的数学渊源，都必须与实验和观察结果进行比对。
一是， 在一个真正有说服力的统一理论建立起来之前，没有人知道应该做什么样的实验。二是，数学上的对称性在相对论和量子理论中都至关重要，而这两种理论又缺乏共同的基础，所以哪怕是再微不足道的共同点，也应该得到足够的重视。空间、时间和物质的可能结构是由它们所具有的对称性决定的，而其中一些最重要的可能结构似乎都关联着特殊的代数结构。时空之所以具备它的这些性质，也许正是因为数学只允许少数特殊的形式存在。如果是这样，着眼于数学就很有意义了。为什么宇宙看起来这么具有数学性呢？人们提出了很多答案， 但我觉得它们都不太令人信服。数学思想与物理世界之间的对称关系，就像我们眼中的美与最重要的数学形式之间的对称关系一样，是一个深奥而可能无解的谜。没有人能说清为什么美即是真，真即是美。我们能做的，只有思考其间蕴含的无限复杂性而已。
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