山径文学社作品（夕阳浅唱）
作者的话：作为曾经的数学老师，最近我在今日头条上看到有关“3n＋1猜想”的文章，心血来潮，也对猜想进行了一些探索。由于自己孤陋寡闻，不知道是否与别人的思路雷同。但不管怎样，这也是自己的劳动成果，姑且先记录下来，就教于方家。
因何感觉“猜想”奇妙？一是简单，小学生都能理解；二是复杂，提出了至今70多年人们还无法解决的问题。因此，我想让猜想更大范围地传播，期待年轻的数学爱好者有兴趣去研究。若能解决，将使我感到无限的荣幸。
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对“3n+1猜想”的思考
向本清
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3n+1猜想为：任意给定正整数N，当N为偶数时，将它若干次除以2，变为一个奇数，当N为奇数时，将它乘以3，再加上1，变为一个偶数，经过有限次这样的操作之后，使它变为1。
3n+1猜想又称为考拉兹猜想，角谷猜想，哈塞猜想，乌拉姆猜想，叙拉古猜想或冰雹猜想。
3n+1猜想从上个世纪五十年代提出来之后，很多的数学家和数学爱好者都进行了研究，但到目前为止，既没有被证明，也没有得出反例。人们用计算机对小于
的整数都验证了没有问题。当代最伟大的数学家陶哲轩认为，这是人类目前还不可能证明的问题。
笔者自不量力，也对3n+1猜想用初等方法进行了一些探讨，得到了如下的一些结论：
结论1：3n+1猜想只要对形如4k+3的正整数成立，则猜想成立。
这是因为人民己经用计算机对小于
的整数都验证了。假设猜想不成立，则至少存在一个正整数，使猜想不成立，设其最小的为M，显然，M不可能为偶数，否则，令M=
，则m〈M，M使猜想不成立，故m也使猜想不成立，这与M是使猜想不成立的最小数矛盾。
若M=4k+1,则3
, 除以 4得3k+1<M.同样与M是使猜想不成立的最小数矛盾。故M只可能是4k+3形式的数。
再应用数学归纳法知识，由于有验证的基础，我们可以假设猜想对一切小于或等于4k正整数都成立，当n=4k+1时，3（4k+1)+1=12k+4, 除以 4得3k+1<4k,知猜想成立。当n=4k+2时， 除以 2得2k+1<4k,知猜想成立。当n=4k+4， 除以 4得k+1<4k,知猜想成立。故如果能证明n=4k+3时，猜想也成立，根据归纳法原理，知猜想对一切自然数都成立。
结论2：设M是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的最小正整数，则
证明：设K=4m时是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的整数，3（4k+3)+1=12k+10,除以2得6k+5,3(6k+5)+1=18k+16=72m+16,除以8得9m+2<4k+3=M,M使猜想不成立，故9m+2也使猜想不成立，这与M是使猜想不成立的最小数矛盾。
设K=3m+1时是使3n+1猜想不成立的形如4k+3的整数,则4k+3=3(k+1)+K=3(k+m+1)+1,故k+m+1也使猜想不成立，而k+m+1<M=4k+3,这与M是使猜想不成立的最小数矛盾。
设
，
则
除以2得
+
,再乘以3加1得
。若
，除以4则有
+
，乘以3加1得
+
若
除以4得
+
此时有k=8m+2.类似地，若
或
即分别有k=8m+5；32m+14.可得4k+3经过变换后小于4k+3.
我们把奇数a“经过乘3加1后变成一个偶数，再用2将其连续整除至一个奇数”的过程称为数a的一次变换。
结论3：数a经过m次变换后得到的奇数a(m),有
要证明3n+1猜想,只要证明
是正整数）
即证明：
把上面式子中3的幂和a全部写成2的幂(即类似于前面4k+3相当于二进制的表示）的形式，从理论上讲，对于任意给定的正整数a,只含有k-2个是零或1的系数，我们一定可以找到适当的一组m,b和r的值，使等式成立。从而3n+1猜想得到证明。
如果把每次乘以3加1和除以2都算做一步，那么，共计要进行
步操作。
虽然从理论上讲可以找，但是具体去找是很难的。比如27，我找了，m=40,r=4,40个b的值，下标分别为2，7，8，10，13，17，21，23，34，35的十个数的值都是2，下标分别为18，29，37三个数的值都是3，下标为33，36两个数的值都是4，下标为40的数的值为5，其余24个数的值都是1。共计要操作111步。
另外，猜想证明的思路可以考虑证明
或者在结论2中 多找一些k的值，使其覆盖全体正整数。（2023.9）
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（数学家陈景润，心中的偶像）
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本文作者简介：向本清老师出生于湖南武冈偏僻农村，在原转龙完小求学至高中而回乡修理地球（务农）快五年，在工厂当合同工两个多月，与方程、函数和微积分为伍四载（湖南师院），在湖南城步苗乡的三尺讲台上一站34年。
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（山径文学社肖殿群编辑）
