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冬至数理演乾坤 九九遐思饺香盈
作者：徐世春
暮色四合时，城乡在寒雾中渐次亮起灯火。窗玻璃上的冰纹蜿蜒如算术题里的辅助线，将天地分割成若干几何区域。寒夜漫长，算筹列案。古人以圭表测日影，冬至前后影长变化细微，需连日记录、反复推演，为求一刻之准，常彻夜不眠。据《周礼》载，早在先秦，古人便通过圭表测影定历法，后以算筹结合浑仪等工具，精确测定冬至点。《九章算术》为观测提供数学支撑，彰显数理与技术的深度融合，凝结着世代智慧。时至冬至，白昼最短而黑夜最长的数学极值点，恰似函数图像上那个决定曲线走向的临界值。
一、冬至数理，天地玄机
冬至阳生数九寒，
乾坤演算理中观。
遥思天地无穷尽，
一饺香盈岁月宽。
冬至的清晨，薄雾如纱，轻笼着沉睡的城乡。我站在阳台，指尖轻触玻璃上的霜花，凉意沁入骨髓，却唤不醒心底的暖意。走进客厅给孩子们讲起古人过冬的故事：古人以冬至为起点，用“数九”之法丈量寒冬，每一日都藏着数学的玄机。《周易》中，这阴阳转换的坐标原点，以“复卦”对应此日，喻示阳气初萌的微观变化。 从今日始，人们开始在宣纸上绘制九九消寒图；或画素梅八十一瓣，每日染红一瓣；或书写“亭前垂柳珍重待春風”九字，每字九划，日填一划。 这种将时间量化为具象符号的智慧，暗合数学归纳法的精妙：以八十一日为定义域，以物候变化为函数值，在缓慢递增的序列里求证春日的存在性。冬至天地阴阳交替，万物潜藏待发。数九寒天，从冬至开始，每九天为一个“九”，数到“九九”时，春意便悄然萌动。这不仅是时间的刻度，更是一场与数学的隐秘对话：九的倍数，循环往复，如同自然的韵律，在寒冷中孕育着生机。
孩子们问冬至与乘法口诀中的九九八十一是怎么回事，我想了想说到，这个问题需要从乘法口诀的历史演变、冬至数九习俗二者的结合进行说明。首先，乘法口诀的起源与发展：乘法口诀古称“九九歌”，其历史可追溯至春秋战国时期。最初的口诀共36句，从“九九八十一”起，至“二二如四”止，因起句为“九九”而得名。 在公元5至10世纪间，口诀扩充至“一一如一”；到13至14世纪，顺序调整为从“一一得一”到“九九八十一”，与现代版本一致。 现行口诀分为45句的“小九九”与81句的“大九九”两种体系。其次，冬至与数九习俗：冬至是“数九”的起点，标志着寒冬的开始。民间将冬至后的81天划分为九个“九”，每九天为一阶段，并通过“九九歌”描述气候与物候变化。 第三，乘法口诀在数九中的体现：数九过程直接运用了乘法口诀计算天数。每个“九”结束时的天数可通过口诀得出来，一九为1×9=9天，二九为2×9=18天，以此类推至九九的81天。 例如：“五九六九沿河看柳”对应冬至后第45至54天，此时气温回升，柳树发芽。 这种计算方式体现了数学知识与生活智慧的融合。
九九八十一天，不仅是时间的累积，更是对天地规律的探寻。我端起水杯，润了下喉咙，轻抚书桌上的算盘，指尖滑过冰冷的珠子，仿佛在拨动宇宙的琴弦。数学，这无声的语言，在冬至的静谧中低语，诉说着乾坤的奥秘。我在思索，在遐想，每一个数字的背后，是否都藏着生命的密码？是星辰的轨迹，还是岁月的轮回？此刻，一缕饺香从厨房飘来，温暖了冬日的寒凉，也融化了心头的孤寂。我闭上眼睛，仿佛看见天地间无数数字在跳跃，交织成一首无声的诗。
二、数九寒天，歌谣寄情
数九寒天饺饵香，
银元宝状寓祺祥。
垂髫黄发围炉乐，
九九耕牛遍地忙。
北风卷过青石巷，檐角冰凌垂落如悬针，数九寒天的序幕在呵气成霜中悄然拉开。
古时的孩童们围坐火炉，稚嫩的歌谣裹着热气升腾：“一九二九不出手，三九四九冰上走……”这古老的旋律，原是农民丈量寒冬的尺规，却在不经意间，于生活的褶皱里，藏匿着数学的密码。“一九二九冰上走，三九四九隔门望狗，五九六九沿河看柳，七九河开，八九雁来，九九加一九，耕牛遍地走。””一九二九防寒厚，三九四九暖气守，五九六九郊游走，七九河开雾霾愁，八九燕来绿意柔，九九加一九，农机遍地忙春畴。” 无论歌谣怎样描写，都在记录天气变化直至春回大地。更像用数学编写的歌曲，在冬日里被孩子们反复吟唱。在北方，数九寒天是农闲的季节，“一九二九，怀中插手；三九四九，冻死猪狗；五九六九，沿河看柳；七九河开，八九雁来；九九八十一，庄稼老汉田中立。”这歌谣不仅是对天气的描绘，更是对生活的写照。数九寒天是考验人的时候，只有熬过了最冷的日子，才能迎来春天的生机。歌谣里，藏着对生活的坚韧，也藏着对未来的希望。在南方，数九寒天虽然不如北方那般凛冽，但也有自己的歌谣：“一九二九，相唤不出手；三九二十七，篱头吹觱篥；四九三十六，夜眠如露宿；五九四十五，家家推盐虎；六九五十四，口中哂暖气；七九六十三，行人把衣单；八九七十二，猫狗寻阴地；九九八十一，穷汉受罪毕。”这首歌谣更像是一幅市井生活的画卷，描绘着人们在寒冬中的挣扎与无奈。即使在最冷的冬天，人们依然用歌谣传递着温暖。然而，歌谣的地域差异与文化意义也有所不同，无论怎样，这些歌谣既反映了气候变化规律，也凝聚了古代劳动人民对自然现象的观察，至今仍对农业与日常生活具有参考价值。歌谣是时间的函数。每一句“九”，都是寒潮的变量，从冬至的初始值起，以九天为周期，单调递增着凛冽。当“五九六九沿河看柳”时，函数曲线悄然拐点，春意开始酝酿斜率的变化。歌谣的节奏，是岁月对线性方程的温柔注解。
数九寒天，我漫步在社区的小径上，耳畔回荡着这些古老的九九歌谣。从“一九二九不出手”到“九九加一九，耕牛遍地走”，每一句都承载着农民对自然的敬畏与期盼。此刻，我停下脚步，仰望苍穹，数九的八十一天像一幅缓缓展开的画卷，每一笔都刻着岁月的痕迹。我在遐想，这九九八十一天，是否也是人生的缩影？从寒冬到春暖，从沉寂到生机，每一步都需耐心与坚持。就像那九九歌谣，每一句都诉说着对春天的渴望。这时，邻家的炊烟袅袅升起，冬至饺子的香气随风飘散，我深吸一口，仿佛尝到了春天的味道。闭上眼睛，又仿佛看见自己站在春天的田野上，阳光洒在苍老的脸上生发出年轻面相，温暖而明亮。当新年的钟声敲响，歌谣数到“九九艳阳天”，函数终于抵达最大值。寒潮退去，积雪消融，那些深藏的数理，如同冰层下的溪流，在歌谣的韵律里，在生活的褶皱中，默默流淌，滋养着冬去春来轮回的美好世界。
三、水饺盈香，亲情暖怀
冬至饺香满院盈，
亲情温暖岁寒轻。
乾坤数理人间事，
一饺团圆百味生。
儿时的冬至，我走进饭房数着饺子排列的矩阵，十二个褶子，对应着十二个月。馅料是随机的变量，咬开的瞬间，概率论化作满口鲜香。母亲正忙着包饺子，看到面团在母亲手中翻飞，她将面团揉成完美圆的柱体，再切成均匀的剂子。每个剂子在擀面杖下又延展成圆。包馅时经历着拓扑变换一一从平面到半球的映射过程中，馅料被完整封装在闭合曲面内。这让我想起元代医书上提及的养生智慧：冬至宜食莲藕，其孔窍通达犹如数学中的多连通区域，能调和人体阴阳平衡。 当莹白的饺子在沸水中浮沉，恰似康托尔集合里的无穷点数在汤锅里收敛，更像一颗颗圆润的珍珠，承载着家的温暖。
此时，我陷入遐想：这小小的饺子，是否也藏着数学的智慧？圆的皮，方的馅，一包一捏，便是乾坤的缩影。一家人围坐桌旁，饺子的热气蒸腾，笑声在屋内回荡。我咬下一口，汤汁四溢，满嘴都是幸福的味道。这一刻，我明白了，冬至的饺子，不仅是食物的盛宴，更是亲情的纽带，连接着过去与未来。我望着母亲慈祥的面容，忽然觉得，这世间的数理，远不及亲情的温暖来得真切。
而今的我们，也熬到了爷爷奶奶，冬至，奶奶教孙女包饺子，念叨：“二九十八，十八个饺子一屉。”孙女抢答：“九九八十一，五屉半！”奶奶笑：“傻孩子，冬至讲究双数，咱用‘二八十六’一一十六个一屉，五屉正好八十。”孙女数着饺子，懂了口诀也懂了习俗。此时我和孙子俩人围坐在奶奶身边也包起了饺子。孙子背口诀：“五六三十”，嚷着要包三十个。我摇摇头：“奶奶说冬至饺子要双数，取‘成双成对’的好意头。”孙子改口：“四六二十四！”我笑了：“对喽，二十四，稳稳当当！”饺子下锅，孙子懂了：口诀帮算数，习俗传心意。
高兴之余，我便回想起往事，那是冬至的炉火与雪痕：在我退休前过冬至的年月里。老校长总爱让老师们挤在学校办公室，用炒菜勺一锅锅下饺子。水汽氤氲中，老师们轮流擀饺皮、包饺馅，手忙脚乱误了正事。虽有小食堂，但包饺子的家什要让学生们回家去借，家长们的议论像窗外的寒风，刺得我心里发凉。又到了冬至那日，我于妻子商量，咱家离学校近能不能请老师们到咱家过冬至，妻子爽快地点头。打那起的连续三年里，我们买下牛肉猪肉提前养好馅，总请十多名老师来家里过冬至。妻子天未亮便起身，在小小的火炉旁揉面调馅包饺子，案板上的面团像一朵朵白云。午时放学的钟声一响，老师们便涌进院门，其中还要带上外地就学的二年级曲云鸽小朋友，他们围坐在大圆桌上，热气腾腾的饺子端上桌，笑声融化了窗上的霜花。
饭后，还要带上一份刚出锅的冬至饺子，给看校的付冠法大爷。我们的这份善良而热情的心意，是家的温暖，更是奉献的种子，它像火炉般温暖着每个教师的心。冠法大爷逢人就夸我们：积善之家必有余庆，幸福门庭笑口常开。冬至那日，妻子望着一个个成形的饺子，我却用20的平方数着饺子的个数，也计算着褶子的数量，它是用12x400=4800个一捏一捏的动作织就了这片深情厚谊：48与00的巧妙组合，藏着四季圆满的祈愿，更裹着她对丈夫教学一丝不苟，精益求精育梁材的赤诚，每一道褶都诉说着“长长久久”的温柔期许。这小小的饺子，是她用爱揉进面里，把未来包成圆满的模样。我从心里感激我的爱妻：亲爰的，辛苦了！谢谢您对我的支持！可到了第四年，也就是2014年腊月初十临近春节放假，一场大雪覆盖了大地。清晨，我一路小心翼翼地踏雪来到学校，先是独自扫除大门通往各个教室的小道，后陆陆续续来了高年级同学，我组织他们一起清扫积雪。再后来，老师们也都到齐了，终于把雪扫完了。上课玲声响过，低年级小朋友嬉戏掷雪球的痕迹却留在冰硬的水泥路上，没小心的我忽听得一声脆响，顿时跌倒在冰滑的水泥路上，重重的身子斜压在了整个右手腕，造成右手腕粉碎性骨折。剧痛袭来，仿佛连时间都冻僵了。接着，校长让卢道辉老师开车拉我到小李庄梁氏骨科医院就诊，当时四个大夫拉紧我的手臂让手腕复位，嘴咬湿布，剧疼的汗珠湿透了整个身子……，我感谢卢道辉老师及时送我到医院诊治。可我至今落下了遇冷就痛的毛病，甚至用筷都很困难。但我还坚持三年用左手写字教学至到退休，个中的辛酸深藏心底。
自那以后，老师们到我家过冬至的炉火再未燃起，品尝过妻子冬至饺子的老师，成了记忆里最温暖的雪痕。往昔随感油然而生：饺香犹在鼻端，温情常驻心田。
四、遐思无限，岁月静好
冬至遐思天地宽，
数理乾坤一梦间。
九九寒天终有尽，
饺香盈处是春山。
夜深了，我独自坐在书桌前，灯下是曾在三尺讲台写下的几本数学笔记、数学经验和数学宝贝。我站在连廊上，望着天空繁星点点，将思绪飘向远方。冬至的夜，虽长却静，数九的天虽冷却暖。脑海深处充满了遐想，这世间的数理，是否也如这饺子一般，看似简单，却蕴含无限的可能？九九八十一天，是结束，也是开始。回到客厅我轻抿一口热茶，饺子的余香仍在唇齿间徘徊。闭上眼睛，仿佛看见春天的山峦在眼前舒展，生机勃勃。这一刻，让我感到无比安宁，仿佛与天地融为一体。冬至的饺子，不仅温暖了胃，更温暖了心。轻声呢喃：“数理演乾坤，九九寄遐思。饺香盈岁月，春山在眼前。”
回蓦自己自2018年那双三日月光荣而幸福地退休岁月，退而不休从未间断对数学的深研。夕阳的余晖透过窗户，在演算纸上投下温暖的光斑。孙儿稚嫩的手指正握着铅笔，认认真真的在演草本上算题。那些曾经在讲台上演绎过的分数与方程，此刻化作祖孙指尖的游戏一一圆圆的饺子皮是几何的圆，排列整齐的饺褶是等差数列，厨房飘来的香气则是生活最甜美的解。望着孩子们在暖光灯下包饺子的身影，数学教师出身的我不禁莞尔。人生如冬至的数九歌，从一九数到九九，每个数字都记录着光阴的故事。育儿育孙恰似解一道生命函数，初始值是爱，导数是陪伴，积分便汇聚成这满屋的欢声笑语。锅里的饺子如白鹅浮水，那是岁月熬煮的团圆。
夜色渐浓，最短的白日孕育最长的思念。这一刻，乾坤在碗中盘旋，遐思在心头翻腾，冬日的寒冷，化作了春的序曲。冬至是自然设定的特殊坐标，让我们在至暗时刻窥见光明增长的数学本质。而人类用数九记录希望，用饺子温暖身心，恰似在混沌宇宙中建立坐标系，用文明的火种证明：即便在最寒冷的定义域里，也始终存在温暖的解。当那碗碗热气腾腾的饺子端上桌时，遐想中突然明白：幸福不是复杂的证明题，而是如此刻般，三代同堂，共享这冬至夜晚。往后岁月，愿天下人每个日子都如这冬至的饺子一一皮薄馅足，圆满温馨。走向中国式现代化强国伟大复兴的明天。
（2025年12月18日徐世春于平安轩长春居）
作者简介：徐世春，济南市长清人。字真诚，号常卿，中共党员，中学高级教师。系中国教育学会数学研究发展中心、济南市小学数学研究专委会和山东历史学会等会员。省、市优秀教师、曾获21世纪全国数学名师、全国数学奥林匹克二级优秀教练员，市教学能手、数学学科带头人和区专业技术拔尖人才等。 有数学专著多册、论文多篇、研发数学教具获国家专利。数学歌谣总结课堂知识易于学生记忆：书法与板书结合极简，易于学生掌握教学核心。毕生从教以真诚与爱心投身教育，培育大批杰出人才。在教学管理与教师发展上推动教育创新。研究方向聚焦数学教育创新，倡导跨学科融合。受教育专家邱学华老师经验熏陶，独创“球形散敛思维教学法”。参与中央教科所新课标小学数学教科书与教师用书的编写工作，并在应用题教学、数学阅读等方面提供可行性建议，为国家教材建设贡献了智慧和力量。专著《小学数学应变训练与能力培养》《论小学数学研究性学习指导的方法》等，代表作《小学数学阅读能力的培养》《浅谈小学数学作业批改的方法》《浅谈农村小学数学应用题的思路方法与技巧》等。在《中小学数学》《山东教育》等省级以上刊物发表数学论文多篇，事迹被《济南日报》《山东教育报》等新闻媒体报刊及各类《辞书》多次宣传报道。
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